Упр.25 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а)
   $$\left(\sin^2 t+2\sin t\cos t-\cos^2 t\right)^2=1-\sin 4t.$$

   Преобразуем выражение в скобках:
   $$\sin^2 t+2\sin t\cos t-\cos^2 t=(2\sin t\cos t)-(\cos^2 t-\sin^2 t).$$
   Тогда
   $$\left(2\sin t\cos t-(\cos^2 t-\sin^2 t)\right)^2=(\sin 2t-\cos 2t)^2.$$
   Раскроем квадрат разности:
   $$ (\sin 2t-\cos 2t)^2=\sin^2 2t-2\sin 2t\cos 2t+\cos^2 2t $$
   $$ =(\sin^2 2t+\cos^2 2t)-2\sin 2t\cos 2t=1-\sin 4t. $$

2. б)
   $$\frac{\cos \alpha-2\sin 3\alpha-\cos 5\alpha}{\sin 5\alpha-2\cos 3\alpha-\sin \alpha}=\tg 3\alpha.$$

   Используем формулы разности тригонометрических функций:
   $$ \cos \alpha-\cos 5\alpha=2\sin 3\alpha\sin 2\alpha, $$
   $$ \sin 5\alpha-\sin \alpha=2\cos 3\alpha\sin 2\alpha. $$
   Тогда
   $$ \frac{\cos \alpha-2\sin 3\alpha-\cos 5\alpha}{\sin 5\alpha-2\cos 3\alpha-\sin \alpha} = \frac{(\cos \alpha-\cos 5\alpha)-2\sin 3\alpha}{(\sin 5\alpha-\sin \alpha)-2\cos 3\alpha} $$
   $$ = \frac{2\sin 3\alpha\sin 2\alpha-2\sin 3\alpha}{2\cos 3\alpha\sin 2\alpha-2\cos 3\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha(\sin 2\alpha-1)}{2\cos 3\alpha(\sin 2\alpha-1)} = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tg 3\alpha. $$

3. в)
   $$\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{\cos^2 t-\sin^2 t}=\cos 2t.$$

   Так как
   $$2\sin t\cos t=\sin 2t,$$
   то
   $$4\sin^2 t\cos^2 t=\sin^2 2t.$$
   Кроме того,
   $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t.$$
   Тогда
   $$ \frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{\cos^2 t-\sin^2 t} = \frac{1-\sin^2 2t}{\cos 2t} = \frac{\cos^2 2t}{\cos 2t} = \cos 2t. $$

4. г)
   $$\frac{\sin \alpha+2\sin 2\alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+2\cos 2\alpha+\cos 3\alpha}=\tg 2\alpha.$$

   Преобразуем числитель и знаменатель:
   $$ \sin \alpha+\sin 3\alpha=2\sin 2\alpha\cos \alpha, $$
   $$ \cos \alpha+\cos 3\alpha=2\cos 2\alpha\cos \alpha. $$
   Тогда
   $$ \frac{\sin \alpha+2\sin 2\alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+2\cos 2\alpha+\cos 3\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha\cos \alpha+2\sin 2\alpha}{2\cos 2\alpha\cos \alpha+2\cos 2\alpha} $$
   $$ = \frac{2\sin 2\alpha(\cos \alpha+1)}{2\cos 2\alpha(\cos \alpha+1)} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tg 2\alpha. $$

Ответ

а) $$\left(\sin^2 t+2\sin t\cos t-\cos^2 t\right)^2=1-\sin 4t$$;
б) $$\frac{\cos \alpha-2\sin 3\alpha-\cos 5\alpha}{\sin 5\alpha-2\cos 3\alpha-\sin \alpha}=\tg 3\alpha$$;
в) $$\frac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{\cos^2 t-\sin^2 t}=\cos 2t$$;
г) $$\frac{\sin \alpha+2\sin 2\alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+2\cos 2\alpha+\cos 3\alpha}=\tg 2\alpha$$.