Упр.249 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 249. Докажите, что при любом значении a существует касательная к графику функции f(x)=x^2-ax, перпендикулярная прямой y=-x.

Найдём угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой $$y=-x.$$

У прямой $$y=-x$$ угловой коэффициент равен $$-1$$, значит у перпендикулярной к ней прямой он равен

$$k=1.$$

Для функции $$f(x)=x^2-ax$$ найдём производную:

$$f'(x)=2x-a.$$

Касательная к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$ имеет угловой коэффициент $$f'(x_0)$$. Чтобы касательная была перпендикулярна прямой $$y=-x$$, нужно, чтобы

$$f'(x_0)=1.$$

Тогда

$$2x_0-a=1,$$

откуда

$$x_0=\frac{a+1}{2}.$$

Такое значение $$x_0$$ существует при любом $$a$$, значит при любом значении $$a$$ существует точка графика, в которой касательная имеет угловой коэффициент $$1$$, то есть перпендикулярна прямой $$y=-x.$$

Ответ

При любом $$a$$ существует касательная к графику функции $$f(x)=x^2-ax$$, перпендикулярная прямой $$y=-x$$.