Упр.248 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $$b$$ и высотой $$h$$. Прочность балки пропорциональна $$bh^2$$. При каких значениях $$b$$ и $$h$$ прочность будет наибольшей?

Пусть $$b$$ — основание балки, $$h$$ — её высота. Тогда по условию прямоугольник вписан в круг диаметра $$40$$ см, значит

$$b^2+h^2=40^2=1600,$$

откуда

$$h^2=1600-b^2.$$

Прочность пропорциональна величине $$bh^2$$, поэтому рассмотрим функцию

$$R(b)=b(1600-b^2)=1600b-b^3.$$

Найдём её максимум:

$$R'(b)=1600-3b^2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$1600-3b^2=0,$$

$$b^2=\frac{1600}{3},$$

$$b=\frac{40}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$h^2=1600-\frac{1600}{3}=\frac{3200}{3},$$

$$h=40\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Следовательно, наибольшая прочность будет при

$$b=\frac{40}{\sqrt{3}}$$ см, $$h=40\sqrt{\frac{2}{3}}$$ см.