Упр.247 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 247. При каких значениях а график функции f(x)=(ax-x^3)/4 пересекает ось абсцисс под углом 45° (хотя бы в одной из точек пересечения)?

Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:

$$f(x)=\frac{ax-x^3}{4}=0$$

$$ax-x^3=0$$

$$x(a-x^2)=0$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\pm\sqrt{a}$$

Чтобы график пересекал ось абсцисс под углом $$45^\circ$$, касательная в хотя бы одной точке пересечения должна иметь угловой коэффициент по модулю, равный $$\tg 45^\circ=1$$.

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{a-3x^2}{4}$$

В точке $$x=0$$:

$$f'(0)=\frac{a}{4}$$

Требуем:

$$\left|\frac{a}{4}\right|=1$$

$$|a|=4$$

Проверим, возможны ли точки $$x=\pm\sqrt{a}$$. В них

$$f'(\pm\sqrt{a})=\frac{a-3a}{4}=-\frac{a}{2}$$

Тогда условие $$\left|f'(\pm\sqrt{a})\right|=1$$ даёт $$|a|=2$$, но при этом нужно, чтобы такие точки существовали, то есть $$a\ge 0$$. Однако при $$a=2$$ в точке пересечения наклон не равен $$45^\circ$$ для всех точек, а в точке $$x=0$$ получаем $$\frac{a}{4}\ne 1$$. Поэтому подходит только случай $$x=0$$.

Следовательно,

$$\frac{a}{4}=1$$

$$a=4$$

Ответ

$$a=4$$