Упр.246 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 246. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе xy=a^2 и осями координат, имеет постоянную площадь, равную 2a^2, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть точка касания гиперболы $$xy=a^2$$ имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда уравнение гиперболы можно записать в виде

$$y=\frac{a^2}{x}, \qquad y’=-\frac{a^2}{x^2}.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0$$:

$$y-\frac{a^2}{x_0}=-\frac{a^2}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем его:

$$y=\frac{a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}x+\frac{a^2}{x_0}=\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}x.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

При $$y=0$$ получаем:

$$\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}x=0,$$

откуда

$$2a^2x_0=a^2x,\qquad x=2x_0.$$

Значит, касательная пересекает ось $$Ox$$ в точке $$A(2x_0,0)$$.

При $$x=0$$ имеем:

$$y(0)=\frac{2a^2}{x_0}.$$

Значит, касательная пересекает ось $$Oy$$ в точке $$B\left(0,\frac{2a^2}{x_0}\right).$$

Треугольник, образованный осями координат и касательной, имеет катеты $$2x_0$$ и $$\frac{2a^2}{x_0}$$, поэтому его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 2x_0\cdot \frac{2a^2}{x_0}=2a^2.$$

Площадь не зависит от выбора точки касания.

Теперь докажем, что точка касания является центром описанной окружности. Обозначим точку касания через $$M(x_0,\frac{a^2}{x_0})$$. Тогда середина отрезка $$AB$$ имеет координаты

$$\left(\frac{2x_0}{2},\frac{1}{2}\cdot \frac{2a^2}{x_0}\right)=\left(x_0,\frac{a^2}{x_0}\right),$$

то есть совпадает с точкой $$M$$.

Кроме того, отрезки $$MA$$ и $$MB$$ равны:

$$MA^2=(2x_0-x_0)^2+\left(0-\frac{a^2}{x_0}\right)^2=x_0^2+\frac{a^4}{x_0^2},$$

$$MB^2=\left(0-x_0\right)^2+\left(\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0}\right)^2=x_0^2+\frac{a^4}{x_0^2}.$$

Следовательно, $$MA=MB$$, а так как точка $$M$$ лежит на середине гипотенузы прямоугольного треугольника $$OAB$$, то она является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ

Площадь треугольника постоянна и равна $$2a^2$$. Точка касания гиперболы с касательной является центром окружности, описанной около этого треугольника.