Упр.246 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе $$xy=a^2$$ и осями координат, имеет постоянную площадь, равную $$2a^2$$, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Подробный ответ

Пусть касательная к гиперболе $$xy=a^2$$ проведена в точке $$M(x_0,y_0)$$. Тогда $$x_0y_0=a^2$$, а уравнение касательной к гиперболе имеет вид

$$y=\frac{a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}(x-x_0)=\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}x.$$

Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат.

С осью $$Ox$$:

$$\frac{2a^2}{x_0}-\frac{a^2}{x_0^2}x=0,$$

откуда

$$x=2x_0.$$

С осью $$Oy$$:

$$y(0)=\frac{2a^2}{x_0}.$$

Значит, треугольник, образованный касательной и осями координат, имеет катеты $$2x_0$$ и $$\frac{2a^2}{x_0}$$. Его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 2x_0\cdot \frac{2a^2}{x_0}=2a^2.$$

Площадь не зависит от точки касания, следовательно, она постоянна и равна $$2a^2$$.

Теперь докажем, что точка касания $$M(x_0,y_0)$$ является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть вершины треугольника имеют координаты $$A(2x_0,0)$$ и $$B\left(0,\frac{2a^2}{x_0}\right)$$, а третья вершина — начало координат $$O(0,0)$$. Тогда середина отрезка $$AB$$ имеет координаты

$$\left(\frac{2x_0}{2},\frac{1}{2}\cdot \frac{2a^2}{x_0}\right)=\left(x_0,\frac{a^2}{x_0}\right)=\left(x_0,y_0\right).$$

Следовательно, точка $$M$$ является серединой гипотенузы прямоугольного треугольника $$OAB$$. А в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Значит, точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.