Упр.245 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 245. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе y=a/x, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.

Найдём уравнение касательной к гиперболе $$y=\frac{a}{x}$$ в точке с абсциссой $$x_0$$.

Имеем:

$$y_0=\frac{a}{x_0}, \qquad y’=-\frac{a}{x^2}, \qquad y'(x_0)=-\frac{a}{x_0^2}.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y-\frac{a}{x_0}=-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем:

$$y=\frac{a}{x_0}-\frac{a(x-x_0)}{x_0^2}=\frac{a}{x_0}-\frac{ax}{x_0^2}+\frac{a}{x_0}.$$

Найдём точку пересечения касательной с осью абсцисс, положив $$y=0$$:

$$\frac{a}{x_0}-\frac{ax}{x_0^2}+\frac{a}{x_0}=0,$$

$$\frac{2a}{x_0}-\frac{ax}{x_0^2}=0,$$

$$2ax_0=ax,$$

$$x=2x_0.$$

Значит, касательная пересекает ось абсцисс в точке $$\left(2x_0,\,0\right)$$, а точка касания имеет координаты $$\left(x_0,\,\frac{a}{x_0}\right)$$.

Отрезок касательной, заключённый между осями координат, соединяет точки $$\left(0,\,\frac{2a}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0,\,0\right)$$, а точка касания делит его пополам, так как является серединой этого отрезка.

Ответ

Точка касания делит отрезок касательной, заключённый между осями координат, пополам.