Упр.245 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать?

Пусть $$r$$ — радиус основания данного цилиндра, $$h$$ — его высота. Обозначим через $$R$$ радиус основания описанного конуса, а через $$H$$ — его высоту.

Из подобия сечений получаем:

$$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H},$$

откуда

$$R(H-h)=rH,$$

$$RH-Rh=rH,$$

$$H(R-r)=Rh,$$

$$H=\frac{Rh}{R-r}.$$

Тогда объём конуса равен

$$V(R)=\frac13\pi R^2H=\frac13\pi R^2\cdot \frac{Rh}{R-r}=\frac13\pi h\cdot \frac{R^3}{R-r}.$$

Найдём минимум этого объёма при $$R>r$$:

$$V'(R)=\frac13\pi h\cdot \frac{3R^2(R-r)-R^3}{(R-r)^2}=\frac13\pi h\cdot \frac{R^2(2R-3r)}{(R-r)^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2R-3r=0,$$

$$R=\frac{3r}{2}.$$

Тогда

$$H=\frac{Rh}{R-r}=\frac{\frac{3r}{2}h}{\frac{3r}{2}-r}=3h.$$

Ответ: $$R=\frac{3r}{2},\quad H=3h.$$