Упр.245 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 245. Около данного цилиндра нужно описать конус наименьшего объема (плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают). Как это сделать?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Обозначим через $$R$$ радиус основания описанного конуса, а через $$H$$ — его высоту.

Из подобия сечений получаем:

$$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$$

Отсюда

$$R(H-h)=rH,$$

$$RH-Rh=rH,$$

$$H(R-r)=Rh,$$

$$H=\frac{Rh}{R-r}.$$

Объём конуса:

$$V(R)=\frac13\pi R^2H=\frac13\pi R^2\cdot \frac{Rh}{R-r}=\frac13\pi \frac{R^3h}{R-r}.$$

Найдём минимум этого объёма при $$R>r$$. Дифференцируем по $$R$$:

$$V'(R)=\frac13\pi h\cdot \frac{3R^2(R-r)-R^3}{(R-r)^2}$$

$$V'(R)=\frac13\pi h\cdot \frac{2R^3-3R^2r}{(R-r)^2}.$$

Для экстремума числитель должен быть равен нулю:

$$2R^3-3R^2r=0,$$

$$R^2(2R-3r)=0,$$

$$2R-3r=0,$$

$$R=\frac{3r}{2}.$$

Тогда

$$H=\frac{Rh}{R-r}=\frac{\frac{3r}{2}h}{\frac{3r}{2}-r}=\frac{\frac{3r}{2}h}{\frac{r}{2}}=3h.$$

Следовательно, конус наименьшего объёма должен иметь радиус основания $$\frac{3r}{2}$$ и высоту $$3h$$.

Ответ

$$R=\frac{3r}{2},\quad H=3h.$$