Упр.245 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе $$y=\frac{a}{x}$$, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

Пусть точка касания гиперболы $$y=\frac{a}{x}$$ имеет абсциссу $$x_0$$. Тогда ордината этой точки равна $$y_0=\frac{a}{x_0}$$, а производная функции

$$y’=-\frac{a}{x^2},$$

поэтому угловой коэффициент касательной в точке $$x_0$$ равен

$$k=y'(x_0)=-\frac{a}{x_0^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{a}{x_0}=-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0).$$

Преобразуем его:

$$y=\frac{a}{x_0}-\frac{a}{x_0^2}(x-x_0)=\frac{a}{x_0}-\frac{ax}{x_0^2}+\frac{a}{x_0}=\frac{2a}{x_0}-\frac{ax}{x_0^2}.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

1) С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем

$$y=\frac{2a}{x_0}.$$

Значит, точка пересечения с осью $$Oy$$ имеет координаты $$\left(0,\frac{2a}{x_0}\right).$$

2) С осью $$Ox$$: при $$y=0$$ имеем

$$\frac{2a}{x_0}-\frac{ax}{x_0^2}=0,$$

откуда

$$\frac{2a}{x_0}=\frac{ax}{x_0^2}, \qquad 2x_0=x,$$

то есть точка пересечения с осью $$Ox$$ имеет координаты $$\left(2x_0,0\right).$$

Середина отрезка, соединяющего точки $$\left(0,\frac{2a}{x_0}\right)$$ и $$\left(2x_0,0\right),$$ имеет координаты

$$\left(\frac{0+2x_0}{2},\frac{\frac{2a}{x_0}+0}{2}\right)=\left(x_0,\frac{a}{x_0}\right).$$

Это и есть точка касания. Следовательно, отрезок касательной, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

Ответ: доказано.