Упр.244 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 244. Найдите все значения аргумента, при которых касательные, проведенные к графикам функций f(x)=3cos(5x) и g(x)=5cos(3x)+2 через точки с этими абсциссами, параллельны.

Касательные к графикам функций параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты, то есть производные в соответствующих точках равны.

Найдём производные:

$$f(x)=3\cos 5x,\qquad g(x)=5\cos 3x+2$$

$$f'(x)=-15\sin 5x,\qquad g'(x)=-15\sin 3x$$

Приравниваем производные:

$$-15\sin 5x=-15\sin 3x$$

$$\sin 5x-\sin 3x=0$$

Используем формулу разности синусов:

$$2\cos\frac{5x+3x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}=0$$

$$2\cos 4x\sin x=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb{Z}$$

Ответ

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z};\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb{Z}.$$