Упр.244 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения аргумента, при которых касательные, проведенные к графикам функций $$f(x)=3\cos(5x)$$ и $$g(x)=5\cos(3x)+2$$ через точки с этими абсциссами, параллельны.

Касательные к графикам функций параллельны, если равны их угловые коэффициенты, то есть производные в соответствующих точках равны:

$$f(x)=3\cos 5x,\qquad g(x)=5\cos 3x+2.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=-15\sin 5x,\qquad g'(x)=-15\sin 3x.$$

Тогда условие параллельности касательных:

$$-15\sin 5x=-15\sin 3x,$$

откуда

$$\sin 5x=\sin 3x.$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin 5x-\sin 3x=2\cos\frac{5x+3x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}=2\cos 4x\sin x=0.$$

Следовательно,

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z.$$