Упр.241 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Статуя высотой $$4\ \text{м}$$ стоит на колонне, высота которой $$5{,}6\ \text{м}$$. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) $$1{,}6\ \text{м}$$, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Пусть $$x=AB$$ — расстояние от человека до основания колонны.

Тогда высота нижней точки статуи над уровнем глаз человека равна

$$BC=5{,}6-1{,}6=4\text{ м},$$

а высота верхней точки статуи над уровнем глаз равна

$$BD=5{,}6+4-1{,}6=8\text{ м}.$$

Угол, под которым видна статуя, равен $$\angle DAC$$, и

$$\tan \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{x}, \qquad \tan \angle DAB=\frac{BD}{AB}=\frac{8}{x}.$$

Тогда

$$\tan \angle DAC=\frac{\tan \angle DAB-\tan \angle CAB}{1+\tan \angle DAB\cdot \tan \angle CAB} =\frac{\frac{8}{x}-\frac{4}{x}}{1+\frac{8}{x}\cdot \frac{4}{x}} =\frac{4x}{x^2+32}.$$

Найдём максимум функции

$$f(x)=\frac{4x}{x^2+32}.$$

Её производная:

$$f'(x)=\frac{4(x^2+32)-4x\cdot 2x}{(x^2+32)^2} =\frac{128-4x^2}{(x^2+32)^2}.$$

Для максимума нужно

$$128-4x^2=0,$$

откуда

$$x^2=32,\qquad x=4\sqrt{2}.$$

Ответ: $$4\sqrt{2}\text{ м}.$$