Упр.241 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^4-x+1$$

Многочлен непрерывен при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит функция непрерывна в точках $$x_1=0$$ и $$x_2=-1$$.

б) $$f(x)=\begin{cases}x+1, & x\le -1,\\ x^2-x, & x>-1.\end{cases}$$

Проверим точку $$x=-1$$:

$$\lim_{x\to -1-0}f(x)=(-1)+1=0,$$
$$\lim_{x\to -1+0}f(x)=(-1)^2-(-1)=2.$$

Односторонние пределы не равны, значит в точке $$x_2=-1$$ функция не непрерывна.

В точке $$x_1=0$$ функция задаётся формулой $$x^2-x$$, а эта функция непрерывна, поэтому в точке $$x_1=0$$ функция непрерывна.

в) $$f(x)=\begin{cases}1-x^2, & x<0,\\ 5-2x, & x\ge 0.\end{cases}$$

Проверим точку $$x=0$$:

$$\lim_{x\to 0-0}f(x)=1-0=1,$$
$$\lim_{x\to 0+0}f(x)=5-2\cdot 0=5.$$

Так как односторонние пределы различны, функция не непрерывна в точке $$x_1=0$$.

Точка $$x_2=-1$$ лежит в области задания ветви $$1-x^2$$, а эта функция непрерывна, значит в точке $$x_2=-1$$ функция непрерывна.

г) $$f(x)=2x-x^2+x^3$$

Это многочлен, а значит он непрерывен при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция непрерывна в точках $$x_1=0$$ и $$x_2=-1$$.

Ответ

а) непрерывна в обеих точках; б) непрерывна в точке $$x_1=0$$, не непрерывна в точке $$x_2=-1$$; в) не непрерывна в точке $$x_1=0$$, непрерывна в точке $$x_2=-1$$; г) непрерывна в обеих точках.