Упр.241 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 241. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Подробный ответ

Обозначим через $$x=AB$$ расстояние от человека до колонны.

Высота глаз человека над землёй равна $$1{,}6$$ м, поэтому

$$BC=5{,}6-1{,}6=4,$$

а высота статуи вместе с колонной:

$$BD=5{,}6+4=9{,}6,$$

значит

$$CD=BD-BC=9{,}6-4=5{,}6.$$

Угол, под которым видна статуя, равен $$\angle DAC$$, и

$$\tan \angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{x}, \qquad \tan \angle DAB=\frac{BD}{AB}=\frac{9{,}6}{x}.$$

Тогда

$$\tan \angle DAC=\frac{\tan \angle DAB-\tan \angle CAB}{1+\tan \angle DAB \cdot \tan \angle CAB}=\frac{\frac{9{,}6}{x}-\frac{4}{x}}{1+\frac{9{,}6}{x}\cdot \frac{4}{x}}=\frac{5{,}6x}{x^2+38{,}4}.$$

Найдём максимум этой функции:

$$f(x)=\frac{5{,}6x}{x^2+38{,}4},$$

$$f'(x)=\frac{5{,}6(x^2+38{,}4)-5{,}6x\cdot 2x}{(x^2+38{,}4)^2}=\frac{5{,}6(38{,}4-x^2)}{(x^2+38{,}4)^2}.$$

Максимум достигается при

$$38{,}4-x^2=0,$$

$$x^2=38{,}4,$$

$$x=\sqrt{38{,}4}=4\sqrt{2{,}4}.$$