Упр.240 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Картина высотой $$1{,}4\ \text{м}$$ повешена на стену так, что её нижний край на $$1{,}8\ \text{м}$$ выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины, то есть чтобы угол зрения по вертикали был наибольшим?

Пусть $$x=AB$$ — расстояние от наблюдателя до стены. Тогда

$$BC=1{,}8\text{ м}, \quad BD=1{,}8+1{,}4=3{,}2\text{ м}.$$

Угол зрения по вертикали равен $$\angle DAC$$, и

$$\tan \angle DAB=\frac{3{,}2}{x}, \qquad \tan \angle CAB=\frac{1{,}8}{x}.$$

Тогда

$$\tan \angle DAC=\frac{\tan \angle DAB-\tan \angle CAB}{1+\tan \angle DAB\cdot \tan \angle CAB} =\frac{\frac{3{,}2}{x}-\frac{1{,}8}{x}}{1+\frac{3{,}2}{x}\cdot \frac{1{,}8}{x}} =\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76}.$$

Нужно найти максимум функции

$$f(x)=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1{,}4(x^2+5{,}76)-1{,}4x\cdot 2x}{(x^2+5{,}76)^2} =\frac{1{,}4(5{,}76-x^2)}{(x^2+5{,}76)^2}.$$

Для максимума нужно $$f'(x)=0$$, откуда

$$5{,}76-x^2=0,\qquad x^2=5{,}76,\qquad x=2{,}4.$$

Следовательно, наиболее благоприятное расстояние от стены равно $$2{,}4\text{ м}.$$

Ответ

$$2{,}4\text{ м}$$