Упр.24 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- а) $$2\sin^2(x)+3\sin(x)=2$$; б) $$\mathrm{tg}^2(x)-4\mathrm{tg}(x)+3=0$$; в) $$2\cos^2(x)-5\cos(x)=3$$; г) $$2\sin^2(x)+\sin(x)=0$$.
- а) $$6\sin^2(x)-2\sin(2x)=1$$; б) $$\sin^2(x)-\cos^2(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$4\sin(x)\cos(x)=\sqrt{3}$$; г) $$\cos^4(x)-\sin^4(x)=1$$.
1) Решим уравнения.
$$2\sin^2 x+3\sin x=2$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+3y-2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=-2$$
Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$y=-2$$ не подходит. Значит,
$$\sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-4y+3=0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=3$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\cos^2 x-5\cos x=3$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-5y-3=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}$$
$$y_1=3,\quad y_2=-\frac12$$
Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, то $$y=3$$ не подходит. Значит,
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\sin^2 x+\sin x=0$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y=0$$
$$y(2y+1)=0$$
Отсюда
$$y_1=0,\quad y_2=-\frac12$$
Значит,
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12$$
$$x=\pi n,\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) Решим уравнения.
$$6\sin^2 x-2\sin 2x=1$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$:
$$6\sin^2 x-4\sin x\cos x=\sin^2 x+\cos^2 x$$
$$5\sin^2 x-4\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
Если $$\cos x\neq 0$$, разделим на $$\cos^2 x$$:
$$5\tg^2 x-4\tg x-1=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$5y^2-4y-1=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5\cdot 1=16+20=36$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{10}$$
$$y_1=-\frac15,\quad y_2=1$$
Следовательно,
$$\tg x=-\frac15 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$
$$x=-\arctg \frac15+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac{\sqrt2}{2}$$
Так как $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x$$, получаем
$$-\cos 2x=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\cos 2x=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n$$
$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$4\sin x\cos x=\sqrt3$$
Так как $$2\sin 2x=4\sin x\cos x$$, то
$$2\sin 2x=\sqrt3$$
$$\sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}$$
Отсюда
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$\cos^4 x-\sin^4 x=1$$
Разложим разность квадратов:
$$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)$$
Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$, получаем
$$\cos^2 x-\sin^2 x=1$$
$$\cos 2x=1$$
$$2x=2\pi n$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ:
1) а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; г) $$x=\pi n,\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$.
2) а) $$x=-\arctg \frac15+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$; б) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
