Упр.24 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1023. Упростите выражения:
      а) $$\sqrt{67-42\sqrt{2}}+\sqrt{19-6\sqrt{2}}$$;
      б) $$\sqrt{51-4\sqrt{77}}-\sqrt{47-4\sqrt{33}}$$.

а) $$\sqrt{67-42\sqrt2}+\sqrt{19-6\sqrt2}$$

Представим подкоренные выражения в виде квадратов:

$$67-42\sqrt2=49+18-2\cdot 7\cdot 3\sqrt2=(7-3\sqrt2)^2,$$

$$19-6\sqrt2=18+1-2\cdot 3\sqrt2\cdot 1=(3\sqrt2-1)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{67-42\sqrt2}+\sqrt{19-6\sqrt2}=\sqrt{(7-3\sqrt2)^2}+\sqrt{(3\sqrt2-1)^2}=7-1=6.$$

б) $$\sqrt{51-4\sqrt{77}}-\sqrt{47-4\sqrt{33}}$$

Аналогично:

$$51-4\sqrt{77}=44+7-2\cdot 2\sqrt{11}\cdot \sqrt7=(2\sqrt{11}-\sqrt7)^2,$$

$$47-4\sqrt{33}=44+3-2\cdot 2\sqrt{11}\cdot \sqrt3=(2\sqrt{11}-\sqrt3)^2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{51-4\sqrt{77}}-\sqrt{47-4\sqrt{33}}=\sqrt{(2\sqrt{11}-\sqrt7)^2}-\sqrt{(2\sqrt{11}-\sqrt3)^2}=\sqrt3-\sqrt7.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$\sqrt3-\sqrt7$$.