Упр.24 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Преобразуем левую часть:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right).$$

Следовательно, тождество верно.

б) Преобразуем левую часть, используя формулы для тангенса суммы и разности:

$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\tg(\alpha+\beta)}+\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{\tg(\alpha-\beta)} = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}} + \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\,\tg\beta}}$$

$$=1-\tg\alpha\,\tg\beta+1+\tg\alpha\,\tg\beta=2.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ: оба тождества доказаны.