Упр.239 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 239. Найдите минимальное значение функции f(x)=2x+18?^2/x+cos(x) на интервале (0; 10).

Рассмотрим функцию

$$f(x)=2x+\frac{18\pi^2}{x}+\cos x,\quad x\in(0;10).$$

Обозначим

$$g(x)=2x+\frac{18\pi^2}{x},\qquad p(x)=\cos x.$$

Найдём, при каких $x$ функция $g(x)$ возрастает:

$$g'(x)=2-\frac{18\pi^2}{x^2}.$$

Если $x\ge 3\pi$, то

$$\frac{18\pi^2}{x^2}\le 2,$$

значит,

$$g'(x)\ge 0,$$

то есть $g(x)$ не убывает при $x\ge 3\pi$.

Для функции $p(x)=\cos x$ имеем

$$p'(x)=-\sin x\ge 0 \quad \text{при } x\ge 3\pi,$$

следовательно, на этом промежутке $\cos x$ также не убывает.

Значит, на отрезке $[3\pi;10)$ функция $f(x)$ не убывает, поэтому наименьшее значение на $(0;10)$ достигается при $x=3\pi$:

$$f(3\pi)=2\cdot 3\pi+\frac{18\pi^2}{3\pi}+\cos 3\pi=6\pi+6\pi-1=12\pi-1.$$

Ответ

$$12\pi-1$$