Упр.239 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите минимальное значение функции $$f(x)=2x+18?^2/x+\cos(x)$$ на интервале $$(0;10)$$.

Рассмотрим функцию $$f(x)=2x+\frac{18\pi^2}{x}+\cos x$$ на интервале $$\left(0;10\right).$$

Обозначим

$$g(x)=2x+\frac{18\pi^2}{x}, \qquad p(x)=\cos x.$$

Тогда

$$f(x)=g(x)+p(x).$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ функция $$g(x)$$ не убывает:

$$g'(x)=2-\frac{18\pi^2}{x^2}.$$

Чтобы было $$g'(x)\ge 0,$$ нужно

$$2-\frac{18\pi^2}{x^2}\ge 0,$$

откуда

$$\frac{18\pi^2}{x^2}\le 2,$$

$$18\pi^2\le 2x^2,$$

$$x^2\ge 9\pi^2,$$

$$x\ge 3\pi.$$

На промежутке $$[3\pi;10)$$ функция $$g(x)$$ не убывает. Кроме того,

$$p'(x)=-\sin x\ge 0$$

при $$x\ge 3\pi,$$ значит, на этом промежутке функция $$p(x)=\cos x$$ также не убывает.

Следовательно, на $$[3\pi;10)$$ функция $$f(x)$$ не убывает, поэтому наименьшее значение на интервале $$\left(0;10\right)$$ достигается при $$x=3\pi$$:

$$f(3\pi)=2\cdot 3\pi+\frac{18\pi^2}{3\pi}+\cos 3\pi=6\pi+6\pi-1=12\pi-1.$$

Ответ: $$12\pi-1$$.