Упр.239 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. а) $$f(x)=2\sin^2 x-\sqrt2\,x$$

   $$f'(x)=2(\sin^2 x)’-\sqrt2=2\cdot 2\sin x\cos x-\sqrt2=2\sin 2x-\sqrt2.$$

   Найдём, где $$f'(x)=0$$:

   $$2\sin 2x-\sqrt2=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{8}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{8}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Теперь решим неравенство $$f'(x)>0$$:

   $$2\sin 2x-\sqrt2>0 \;\Rightarrow\; \sin 2x>\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$f(x)=2x+\cos(4x-\pi)=2x-\cos 4x$$

   $$f'(x)=2+4\sin 4x.$$

   Найдём, где $$f'(x)=0$$:

   $$2+4\sin 4x=0 \;\Rightarrow\; \sin 4x=-\frac12.$$

   Тогда

   $$4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Решим неравенство $$f'(x)>0$$:

   $$2+4\sin 4x>0 \;\Rightarrow\; \sin 4x>-\frac12.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<4x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\; n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$f(x)=\cos 2x$$

   $$f'(x)=-2\sin 2x.$$

   Найдём, где $$f'(x)=0$$:

   $$-2\sin 2x=0 \;\Rightarrow\; \sin 2x=0 \;\Rightarrow\; 2x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   значит

   $$x=\frac{\pi}{2}n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Теперь решим неравенство $$f'(x)>0$$:

   $$-2\sin 2x>0 \;\Rightarrow\; \sin 2x<0.$$

   Следовательно,

   $$-\pi+2\pi n<2x<2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$f(x)=\sin 2x-\sqrt3\,x$$

   $$f'(x)=2\cos 2x-\sqrt3.$$

   Найдём, где $$f'(x)=0$$:

   $$2\cos 2x-\sqrt3=0 \;\Rightarrow\; \cos 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$2x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=\pm \frac{\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Решим неравенство $$f'(x)>0$$:

   $$2\cos 2x-\sqrt3>0 \;\Rightarrow\; \cos 2x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$-\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\pi n,\; \frac{3\pi}{8}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\; \frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\pm \frac{\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
$$-\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{\pi}{12}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$