Упр.238 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

К реке шириной $$a$$ проведен под прямым углом канал шириной $$b$$. Какую максимальную длину могут иметь суда, чтобы пройти в канал? $$a$$ и $$b$$ измеряются в метрах.

Подробный ответ

Пусть $$\alpha$$ — угол наклона судна к берегу. Тогда длина судна равна сумме отрезков, которые оно занимает в реке и в канале:

$$L(\alpha)=|AO|+|OB|=\frac{a}{\sin \alpha}+\frac{b}{\cos \alpha}, \qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём минимум функции $$L(\alpha)$$. Для этого рассмотрим производную:

$$L'(\alpha)=-\frac{a\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}+\frac{b\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} =\frac{b\sin^3 \alpha-a\cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}.$$

В точке экстремума $$L'(\alpha)=0$$, значит

$$b\sin^3 \alpha=a\cos^3 \alpha,$$

откуда

$$\tg^3 \alpha=\frac{a}{b}, \qquad \tg \alpha=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.$$

Теперь выразим $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$ через $$\tg \alpha$$:

$$\sin \alpha=\frac{\tg \alpha}{\sqrt{1+\tg^2 \alpha}}, \qquad \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 \alpha}}.$$

Тогда

$$L=\frac{a}{\sin \alpha}+\frac{b}{\cos \alpha} =\left(\frac{a}{\tg \alpha}+b\right)\sqrt{1+\tg^2 \alpha}.$$

Подставим $$\tg \alpha=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$:

$$\frac{a}{\tg \alpha}=a\sqrt[3]{\frac{b}{a}}=\sqrt[3]{a^2b},$$

а значит

$$L_{\max}=\left(\sqrt[3]{a^2b}+b\right)\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}}}.$$