Упр.237 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) x^3-3x=a; б) |x^2-4x+3|=ax.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x.$$
Тогда число корней уравнения $$x^3-3x=a$$ равно числу точек пересечения графика $$y=x^3-3x$$ с прямой $$y=a$$.
Найдём экстремумы:
$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
$$f(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2.$$
Следовательно, уравнение имеет:
- один корень при $$|a|>2$$;
- два корня при $$|a|=2$$;
- три корня при $$|a|<2$$.
б) Решим уравнение $$|x^2-4x+3|=ax.$$
Сначала найдём, где выражение под модулем меняет знак:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Значит,
$$x^2-4x+3\ge 0 \text{ при } x\le 1 \text{ или } x\ge 3,$$
$$x^2-4x+3<0 \text{ при } 1<x<3.$$
1) Если $$x\le 1$$ или $$x\ge 3,$$ то
$$x^2-4x+3=ax,$$
$$x^2-(a+4)x+3=0.$$
Чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицателен:
$$D=(a+4)^2-12=a^2+8a+4\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le -4-2\sqrt3 \quad \text{или} \quad a\ge -4+2\sqrt3.$$
2) Если $$1<x<3,$$ то
$$4x-x^2-3=ax,$$
$$x^2+(a-4)x+3=0.$$
Тогда
$$D=(a-4)^2-12=a^2-8a+4\ge 0,$$
откуда
$$a\le 4-2\sqrt3 \quad \text{или} \quad a\ge 4+2\sqrt3.$$
С учётом расположения корней относительно промежутков $$x\le 1,$$ $$1<x<3,$$ $$x\ge 3$$ получаем число корней уравнения:
- нет корней при $$-4-2\sqrt3<a<0$$;
- один корень при $$a=-4-2\sqrt3$$;
- два корня при $$a<-4-2\sqrt3,\; 0<a<4-2\sqrt3,\; a>4+2\sqrt3$$;
- три корня при $$a=4-2\sqrt3$$;
- четыре корня при $$0<a<4-2\sqrt3.$$
Ответ
а) $$1$$ корень при $$|a|>2$$; $$2$$ корня при $$|a|=2$$; $$3$$ корня при $$|a|<2$$.
б) Нет корней при $$-4-2\sqrt3<a<0$$; один корень при $$a=-4-2\sqrt3$$; два корня при $$a<-4-2\sqrt3,\; 0<a<4-2\sqrt3,\; a>4+2\sqrt3$$; три корня при $$a=4-2\sqrt3$$; четыре корня при $$0<a<4-2\sqrt3$$.
