Упр.237 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 237. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 20 см. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$a+b=20,$$

значит, $$b=20-a$$.

Площадь треугольника:

$$S(a)=\frac12 ab=\frac12 a(20-a).$$

Это квадратичная функция:

$$S(a)=10a-\frac12 a^2.$$

Найдём её максимум. Производная:

$$S'(a)=10-a.$$

Приравниваем к нулю:

$$10-a=0,$$

откуда

$$a=10.$$

Тогда

$$b=20-10=10.$$

Следовательно, наибольшая площадь будет при равных катетах.

Ответ

$$10\text{ см и }10\text{ см}.$$