Упр.236 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 236. Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наибольшей; б) наименьшей.

Подробный ответ

Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$, где $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$. Тогда

$$x+y=10, \qquad y=10-x.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$S(x)=x^3+y^3=x^3+(10-x)^3.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=3x^2-3(10-x)^2.$$

Упростим:

$$S'(x)=3\bigl(x^2-(10-x)^2\bigr)=3(2x-10)(10)=30(2x-10).$$

Тогда

$$S'(x)=0 \iff x=5.$$

На отрезке $$0 \le x \le 10$$ функция $$S(x)$$ убывает при $$x<5$$ и возрастает при $$x>5$$, значит, минимум достигается при $$x=5$$, а максимум — на концах отрезка.

Проверим значения:

$$S(0)=0^3+10^3=1000,$$

$$S(5)=5^3+5^3=250.$$

Следовательно, наибольшая сумма кубов получается при $$x=10$$, $$y=0$$, а наименьшая — при $$x=5$$, $$y=5$$.