Упр.235 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ (если они существуют) на данном промежутке:

а) $$f(x)=18x^2+8x^3-3x^4,\ [1;3]$$;

б) $$f(x)=2\cos(x)-\cos(2x),\ [0;?]$$;

в) $$f(x)=\frac{2}{x}+x^2,\ \left[\frac{1}{2};1\right]$$;

г) $$f(x)=\sin(x)-x,\ [-?;?]$$.

а) $$f(x)=18x^2+8x^3-3x^4,\quad [1;3].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=36x+24x^2-12x^3=12x(-x^2+2x+3)=12x(3-x)(x+1).$$

На отрезке $$[1;3]$$ критическая точка: $$x=3$$, а также проверяем конец отрезка $$x=1$$.

$$f(1)=18+8-3=23,$$

$$f(3)=18\cdot 9+8\cdot 27-3\cdot 81=162+216-243=135.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$135$$, наименьшее — $$23$$.

б) $$f(x)=2\cos x-\cos 2x,\quad [0;\pi].$$

$$f'(x)=-2\sin x+2\sin 2x=2\sin x(2\cos x-1).$$

Критические точки на $$[0;\pi]$$:

$$\sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi,$$

$$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}.$$

Вычислим значения функции:

$$f(0)=2\cdot 1-1=1,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot \frac12-\cos\frac{2\pi}{3}=1- \left(-\frac12\right)=\frac32,$$

$$f(\pi)=2\cdot(-1)-1=-3.$$

Значит, наибольшее значение $$\frac32$$, наименьшее $$-3$$.

в) $$f(x)=\frac{2}{x}+x^2,\quad \left[\frac12;1\right].$$

$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+2x.$$

$$f'(x)=0 \Rightarrow -\frac{2}{x^2}+2x=0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1.$$

Проверим значения на концах отрезка и в критической точке:

$$f\!\left(\frac12\right)=\frac{2}{1/2}+\left(\frac12\right)^2=4+\frac14=\frac{17}{4},$$

$$f(1)=2+1=3.$$

Следовательно, наибольшее значение $$\frac{17}{4}$$, наименьшее $$3$$.

г) $$f(x)=\sin x-x,\quad [-\pi;\pi].$$

$$f'(x)=\cos x-1\le 0,$$

поэтому функция не возрастает на всём отрезке $$[-\pi;\pi]$$. Значит, максимум достигается в левой границе, а минимум — в правой.

$$f(-\pi)=\sin(-\pi)-(-\pi)=\pi,$$

$$f(\pi)=\sin\pi-\pi=-\pi.$$

Итак, наибольшее значение равно $$\pi$$, наименьшее — $$-\pi$$.

Ответ: а) $$135$$, $$23$$; б) $$\frac32$$, $$-3$$; в) $$\frac{17}{4}$$, $$3$$; г) $$\pi$$, $$-\pi$$.