Упр.234 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию и постройте ее график: а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln(x)$$; б) $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$; в) $$f(x)=2^{x^2-4x}$$; г) $$f(x)=x-\ln(x)$$.
Исследуем каждую функцию с помощью производной.
а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x} =\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$
Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем:
$$\ln x+2=0 \;\Rightarrow\; x=e^{-2}.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;e^{-2}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-2};+\infty\right).$$
Минимум достигается при $$x=e^{-2}:$$
$$f\!\left(e^{-2}\right)=\sqrt{e^{-2}}\ln\!\left(e^{-2}\right)=e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}.$$
Значит,
$$D(f)=\left(0;+\infty\right), \qquad E(f)=\left[-\frac{2}{e};+\infty\right).$$
б) $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$
Область определения: $$x\neq 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$
Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\neq 0,$$ знак производной определяется множителем $$x-1.$$
Отсюда функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;1\right],$$ а возрастает на $$[1;+\infty).$$
Минимум при $$x=1:$$
$$f(1)=\frac{e}{1}=e.$$
Кроме того,
$$\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{x}=0,\qquad \lim_{x\to 0-}\frac{e^x}{x}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 0+}\frac{e^x}{x}=+\infty.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \qquad E(f)=(-\infty;0)\cup[e;+\infty).$$
в) $$f(x)=2^{x^2-4x}$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2^{x^2-4x}\ln 2\,(2x-4).$$
Так как $$2^{x^2-4x}>0$$ и $$\ln 2>0,$$ знак производной определяется выражением $$2x-4.$$
Получаем:
$$f'(x)<0 \text{ при } x<2,\qquad f'(x)>0 \text{ при } x>2.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$
Минимум при $$x=2:$$
$$f(2)=2^{2^2-4\cdot 2}=2^{-4}=\frac{1}{16}.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=\left[\frac{1}{16};+\infty\right).$$
г) $$f(x)=x-\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
При $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1.$$ Поэтому функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
Минимум при $$x=1:$$
$$f(1)=1-\ln 1=1.$$
Следовательно,
$$D(f)=\left(0;+\infty\right), \qquad E(f)=\left[1;+\infty\right).$$
Ответ:
а) $$D=\left(0;+\infty\right),\ E=\left[-\frac{2}{e};+\infty\right);$$
б) $$D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E=(-\infty;0)\cup[e;+\infty);$$
в) $$D=(-\infty;+\infty),\ E=\left[\frac{1}{16};+\infty\right);$$
г) $$D=\left(0;+\infty\right),\ E=\left[1;+\infty\right).$$
