Упр.234 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) cos(x) > 1-x^2/2; б) sin(x) > x-x^3/6;
в) cos(x) < 1-x^2/2+x^4/24; г) sin(x) < x-x^3/6+x^5/120.

Докажем неравенства с помощью рассмотрения вспомогательных функций и их производных на промежутке $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

1. Докажем, что $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$

   Рассмотрим функцию

   $$f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}-1.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-\sin x+x,$$

   $$f»(x)=1-\cos x\ge 0.$$

   Значит, $$f'(x)$$ возрастает. Так как $$f'(0)=0,$$ то при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0.$$ Следовательно, $$f(x)$$ возрастает, а

   $$f(0)=\cos 0+\frac{0^2}{2}-1=0.$$

   Значит, при $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$

   $$f(x)>0,$$

   то есть

   $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$

2. Докажем, что $$\sin x>x-\frac{x^3}{6}.$$

   Рассмотрим функцию

   $$f(x)=\frac{x^3}{6}+\sin x-x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\frac{x^2}{2}+\cos x-1,$$

   $$f»(x)=x-\sin x,$$

   $$f»'(x)=1-\cos x\ge 0.$$

   Следовательно, $$f»(x)$$ возрастает. Так как $$f»(0)=0,$$ то при $$x>0$$ имеем $$f»(x)>0.$$ Тогда $$f'(x)$$ возрастает, а поскольку

   $$f'(0)=0,$$

   то $$f'(x)>0$$ при $$x>0.$$ Значит, $$f(x)$$ возрастает, и

   $$f(0)=0.$$

   Следовательно, $$f(x)>0,$$ то есть

   $$\sin x>x-\frac{x^3}{6}.$$

3. Докажем, что $$\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.$$

   Рассмотрим функцию

   $$f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}-1.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-\sin x+x-\frac{x^3}{6},$$

   $$f»(x)=-\cos x+1-\frac{x^2}{2},$$

   $$f»'(x)=\sin x-x,$$

   $$f»»(x)=\cos x-1\le 0.$$

   Значит, $$f»'(x)$$ убывает. Так как $$f»'(0)=0,$$ то при $$x>0$$ имеем $$f»'(x)<0.$$ Тогда $$f»(x)$$ убывает, а поскольку

   $$f»(0)=0,$$

   то $$f»(x)<0.$$ Следовательно, $$f'(x)$$ убывает, и из

   $$f'(0)=0$$

   получаем $$f'(x)<0.$$ Значит, $$f(x)$$ убывает, а

   $$f(0)=0.$$

   Следовательно, $$f(x)<0,$$ то есть

   $$\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.$$

4. Докажем, что $$\sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$

   Рассмотрим функцию

   $$f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24},$$

   $$f»(x)=-\sin x+x-\frac{x^3}{6},$$

   $$f»'(x)=-\cos x+1-\frac{x^2}{2},$$

   $$f»»(x)=-\sin x-x,$$

   $$f»»'(x)=-\cos x-1\le 0.$$

   Следовательно, $$f»»(x)$$ убывает. Так как $$f»»(0)=0,$$ то при $$x>0$$ имеем $$f»»(x)<0.$$ Тогда $$f»'(x)$$ убывает, и из $$f»'(0)=0$$ получаем $$f»'(x)<0.$$ Аналогично, $$f»(x)<0,$$ $$f'(x)<0,$$ а значит, $$f(x)<0.$$

   Поскольку $$f(0)=0,$$ то при $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$

   $$\sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$

Ответ

$$\cos x>1-\frac{x^2}{2},\qquad \sin x>x-\frac{x^3}{6},\qquad \cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24},\qquad \sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$