Упр.234 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac12\cos(2x-\pi)=\frac12\cos(\pi-2x)=-\frac12\cos 2x.$$
Тогда
$$f'(x)=\left(-\frac12\cos 2x\right)’=-\frac12\cdot(-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.$$
Следовательно,
$$f'(0)=\sin 0=0,$$
$$f'(\pi)=\sin 2\pi=0.$$
б) $$f(x)=x-\tg(-2x)=x+\tg 2x.$$
Тогда
$$f'(x)=(x+\tg 2x)’=1+\frac{1}{\cos^2 2x}\cdot 2=1+\frac{2}{\cos^2 2x}.$$
Следовательно,
$$f'(0)=1+\frac{2}{\cos^2 0}=1+\frac{2}{1}=3,$$
$$f'(\pi)=1+\frac{2}{\cos^2 2\pi}=1+\frac{2}{1}=3.$$
в) $$f(x)=3\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right).$$
Тогда
$$f'(x)=3\left(\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\right)’=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\cdot\frac13=\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right).$$
Используя формулу $$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\sin t,$$ получаем
$$f'(x)=\sin\frac{x}{3}.$$
Следовательно,
$$f'(0)=\sin 0=0,$$
$$f'(\pi)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
г) $$f(x)=2\cos\frac{x}{2}.$$
Тогда
$$f'(x)=2\left(\cos\frac{x}{2}\right)’=2\cdot\left(-\sin\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12=-\sin\frac{x}{2}.$$
Следовательно,
$$f'(0)=-\sin 0=0,$$
$$f'(\pi)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1.$$
Ответ
а) $$f'(0)=0,\; f'(\pi)=0.$$
б) $$f'(0)=3,\; f'(\pi)=3.$$
в) $$f'(0)=0,\; f'(\pi)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
г) $$f'(0)=0,\; f'(\pi)=-1.$$
