Упр.234 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) f(x)=vxln(x); б) f(x)=e^x/x;
в) f(x)=2^(x^2-4x); г) f(x)=x-ln(x).
а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$
Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0,$$ знак производной определяется числителем:
$$f'(x)\ge 0 \iff \ln x+2\ge 0 \iff x\ge e^{-2}.$$
Значит, функция убывает на $$\left(0;e^{-2}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-2};+\infty\right).$$
Минимум достигается при $$x=e^{-2}:$$
$$f_{\min}=f\left(e^{-2}\right)=\sqrt{e^{-2}}\ln\left(e^{-2}\right)=e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}.$$
Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\sqrt{x}\ln x=0 \Rightarrow \ln x=0 \Rightarrow x=1.$$
Итак, $$D(f)=(0;+\infty), \quad E(f)=\left[-\frac{2}{e};+\infty\right).$$
б) $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{e^x x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$
Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется множителем $$x-1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
Минимум на положительной ветви достигается при $$x=1:$$
$$f_{\min}=f(1)=e.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем
$$\frac{e^x}{x}=\frac{1}{x e^{-x}}\to 0^-.$$
Значит, $$E(f)=(-\infty;0)\cup[e;+\infty).$$
в) $$f(x)=2^{x^2-4x}$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2^{x^2-4x}\ln 2\,(2x-4).$$
Так как $$2^{x^2-4x}>0$$ и $$\ln 2>0,$$ знак производной определяется выражением $$2x-4.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=2:$$
$$f_{\min}=f(2)=2^{2^2-4\cdot 2}=2^{-4}=\frac{1}{16}.$$
Значит, $$E(f)=\left[\frac{1}{16};+\infty\right).$$
г) $$f(x)=x-\ln x$$
Область определения: $$x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$
При $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$
Минимум достигается при $$x=1:$$
$$f_{\min}=f(1)=1-\ln 1=1.$$
Значит, $$E(f)=[1;+\infty).$$
Ответ
а) $$D(f)=(0;+\infty), \ E(f)=\left[-\frac{2}{e};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(0;e^{-2}\right]$$, возрастает на $$\left[e^{-2};+\infty\right).$$
б) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \ E(f)=(-\infty;0)\cup[e;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty).$$
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty), \ E(f)=\left[\frac{1}{16};+\infty\right),$$ убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty).$$
г) $$D(f)=(0;+\infty), \ E(f)=[1;+\infty),$$ убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$
