Упр.233 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=1-2sin(2x); б) f(x)=cos^2(x)-cos(x);
в) f(x)=3-cos(x/2); г) f(x)=sin^2(x)-sin(x).

1. а) $$f(x)=1-2\sin 2x$$

   $$f'(x)=-4\cos 2x$$
   
   $$f'(x)\ge 0 \iff \cos 2x\le 0$$
   
   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
   
   $$\frac{\pi}{4}+\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4}+\pi n$$

   Значит, функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+\pi n\right]$$.

   $$x_{\min}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad f(x_{\min})=1-2\sin\frac{\pi}{2}=-1$$
   
   $$x_{\max}=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad f(x_{\max})=1-2\sin\frac{3\pi}{2}=3$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$.

   Множество значений: $$E(y)=[-1;3]$$.

2. б) $$f(x)=\cos^2 x-\cos x$$

   $$f'(x)=-2\cos x\sin x+\sin x=\sin x(1-2\cos x)$$
   
   $$f'(x)\ge 0 \iff \sin x(1-2\cos x)\ge 0$$

   Отсюда функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$.

   $$x_{\min}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad f(x_{\min})=\cos^2\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac14$$
   
   $$x_{\max}=\pi+2\pi n,\quad f(x_{\max})=\cos^2\pi-\cos\pi=2$$
   
   $$x_{\max}=2\pi n,\quad f(x_{\max})=\cos^2 2\pi-\cos 2\pi=0$$

   Функция чётная.

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$.

   Множество значений: $$E(y)=\left[-\frac14;2\right]$$.

3. в) $$f(x)=3-\cos\frac{x}{2}$$

   $$f'(x)=\frac12\sin\frac{x}{2}$$
   
   $$f'(x)\ge 0 \iff \sin\frac{x}{2}\ge 0$$
   
   $$4\pi n \le x \le 2\pi+4\pi n$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[4\pi n;\,2\pi+4\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[2\pi+4\pi n;\,4\pi+4\pi n\right]$$.

   $$x_{\min}=4\pi n,\quad f(x_{\min})=3-\cos 2\pi=2$$
   
   $$x_{\max}=2\pi+4\pi n,\quad f(x_{\max})=3-\cos\pi=4$$

   Функция чётная.

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$.

   Множество значений: $$E(y)=[2;4]$$.

4. г) $$f(x)=\sin^2 x-\sin x$$

   $$f'(x)=2\sin x\cos x-\cos x=\cos x(2\sin x-1)$$
   
   $$f'(x)\ge 0 \iff \cos x(2\sin x-1)\ge 0$$

   Отсюда функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$.

   $$x_{\min}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad f(x_{\min})=\sin^2\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac14$$
   
   $$x_{\max}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad f(x_{\max})=\sin^2\frac{3\pi}{2}-\sin\frac{3\pi}{2}=2$$
   
   $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad f(x_{\max})=\sin^2\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}=0$$

   Функция общего вида.

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$.

   Множество значений: $$E(y)=\left[-\frac14;2\right]$$.

Ответ

а) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-1;3]$$;
б) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac14;2\right]$$, функция чётная;
в) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[2;4]$$, функция чётная;
г) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac14;2\right]$$.