Упр.233 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Что больше: а) $$3^{\sqrt{2}}$$ или $$2^{\sqrt{3}}$$; б) $$\left(\frac{1}{1987}\right)^{\frac{1}{1987}}$$ или $$\left(\frac{1}{1988}\right)^{\frac{1}{1988}}$$?
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}, \quad x>0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}.$$
Так как $$2x\sqrt{x}>0$$ при $$x>0$$, знак производной определяется числителем:
$$f'(x)\ge 0 \iff 2-\ln x\ge 0 \iff \ln x\le 2 \iff x\le e^2.$$
Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на промежутке $$0<x\le e^2$$. Так как $$\sqrt{2}<\sqrt{3}$$ и оба числа меньше $$e^2$$, то
$$f(\sqrt{2})<f(\sqrt{3}),$$
то есть
$$\frac{\ln 2}{\sqrt{2}}<\frac{\ln 3}{\sqrt{3}}.$$
Умножая на $$\sqrt{2}\sqrt{3}>0$$, получаем:
$$\sqrt{3}\ln 2<\sqrt{2}\ln 3.$$
Следовательно,
$$\ln 2^{\sqrt{3}}<\ln 3^{\sqrt{2}},$$
а значит,
$$2^{\sqrt{3}}<3^{\sqrt{2}}.$$
Итак, больше первое число.
б) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^x,\quad 0<x<1.$$
Запишем её в виде:
$$f(x)=e^{x\ln x}.$$
Тогда
$$f'(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1).$$
Для $$0<x<1$$ имеем $$\ln x<0$$, но на отрезке около чисел $$\frac1{1987}$$ и $$\frac1{1988}$$ выполняется
$$\ln x+1>0 \iff x>\frac1e.$$
Так как
$$\frac1{1987}<\frac1{1988}<\frac1e,$$
то удобнее сравнить значения функции напрямую по возрастанию на промежутке $$0<x<\frac1e$$: здесь $$\ln x+1<0$$, значит $$f(x)$$ убывает. Поэтому при $$\frac1{1987}>\frac1{1988}$$ получаем
$$\left(\frac1{1987}\right)^{\frac1{1987}}<\left(\frac1{1988}\right)^{\frac1{1988}}.$$
Следовательно, больше второе число.
Ответ
а) $$3^{\sqrt{2}}>2^{\sqrt{3}}$$; б) $$\left(\frac1{1988}\right)^{\frac1{1988}}>\left(\frac1{1987}\right)^{\frac1{1987}}$$.
