Упр.232 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$; б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$; в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$; г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$.
а) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$
$$f'(x)=2x(x-2)^2+x^2\cdot 2(x-2)=2x(x-2)(2x-2)=4x(x-1)(x-2).$$
Критические точки: $$x=0,\;x=1,\;x=2.$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } [0;1]\cup[2;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0]\cup[1;2].$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=0.$$
Наименьшее значение равно $$0,$$ наибольшее локальное значение равно $$1.$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[0;+\infty).$$
б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$f'(x)=-\frac{8}{x^2}+\frac12=\frac{x^2-16}{2x^2}.$$
Так как $$2x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то
$$f'(x)>0 \text{ при } |x|>4,\qquad f'(x)<0 \text{ при } 0<|x|<4.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$
Экстремумы:
$$f(-4)=-2-2=-4,\qquad f(4)=2+2=4.$$
Следовательно, $$x=-4$$ — точка максимума, $$x=4$$ — точка минимума.
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-\frac{8}{x}-\frac{x}{2}=-f(x).$$
$$E(f)=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$
в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$
$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$
Критические точки: $$x=-1,\;x=3.$$
Тогда
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } [-1;3].$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$
Значения в точках экстремума:
$$f(-1)=-1-3+9=5,\qquad f(3)=27-27-27=-27.$$
Значит, $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.
$$D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=(-\infty;+\infty).$$
г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
$$f'(x)=\frac{(4-x^2)-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{4+x^2}{(4-x^2)^2}.$$
Так как $$4+x^2>0$$ и $$\left(4-x^2\right)^2>0$$ при всех $$x\in D(f),$$ то
$$f'(x)>0 \text{ на всей области определения.}$$
Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков области определения:
$$(-\infty;-2),\quad (-2;2),\quad (2;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=\frac{-x}{4-x^2}=-f(x).$$
Вертикальные асимптоты: $$x=\pm 2,$$ горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Ответ
а) $$D=\mathbb{R},\ E=[0;+\infty),$$ возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2].$$
б) $$D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$
в) $$D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R},$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$
г) $$D=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty),\ E=\mathbb{R},$$ возрастает на каждом промежутке области определения.
