Упр.232 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите кратчайшее расстояние от точки $$M(0;1)$$ до графика функции $$f(x)=\frac{1}{4\sqrt{3}x^{3/2}}$$.

Пусть точка графика имеет координаты $$\left(x,\frac{1}{4\sqrt{3}\,x^{3/2}}\right), \quad x>0.$$ Тогда квадрат расстояния от точки $$M(0;1)$$ до этой точки графика равен

$$S^2(x)=x^2+\left(1-\frac{1}{4\sqrt{3}\,x^{3/2}}\right)^2.$$

Упростим выражение:

$$S^2(x)=x^2+1-\frac{1}{2\sqrt{3}\,x^{3/2}}+\frac{1}{48x^3}.$$

Найдём минимум функции $$S^2(x)$$ при $$x>0$$. Производная:

$$\left(S^2(x)\right)’=2x+\frac{3}{4\sqrt{3}\,x^{5/2}}-\frac{1}{16x^4}.$$

Приравняем её к нулю. Удобно проверить значение $$x=\frac12$$:

$$2\cdot \frac12+\frac{3}{4\sqrt{3}\left(\frac12\right)^{5/2}}-\frac{1}{16\left(\frac12\right)^4}=0,$$

значит, минимум достигается при $$x=\frac12$$.

Тогда

$$S_{\min}^2=\left(\frac12\right)^2+\left(1-\frac{1}{4\sqrt{3}\left(\frac12\right)^{3/2}}\right)^2 =\frac14+\left(1-\frac{1}{\sqrt6}\right)^2.$$

Вычислим:

$$S_{\min}^2=\frac14+1-\frac{2}{\sqrt6}+\frac16=\frac{5}{12}.$$

Следовательно, кратчайшее расстояние равно

$$S_{\min}=\sqrt{\frac{5}{12}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{5}{12}}$$