Упр.231 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 231. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 р. в час. При какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей?

Пусть $$v$$ км/ч — скорость парохода.

Переменная часть расходов на топливо пропорциональна кубу скорости, значит

$$f(v)=kv^3.$$

При $$v=10$$ км/ч эта часть равна $$30$$ р./ч, поэтому

$$1000k=30,\quad k=0{,}03.$$

Тогда общие расходы на 1 час равны

$$480+0{,}03v^3.$$

За 1 час пароход проходит $$v$$ км, значит расходы на 1 км пути:

$$S(v)=\frac{480+0{,}03v^3}{v}= \frac{480}{v}+0{,}03v^2,\quad v>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(v)=-\frac{480}{v^2}+0{,}06v.$$

Приравняем производную к нулю:

$$-\frac{480}{v^2}+0{,}06v=0$$

$$0{,}06v^3=480$$

$$v^3=8000$$

$$v=20.$$

При $$v<20$$ производная отрицательна, а при $$v>20$$ положительна, значит в точке $$v=20$$ функция достигает минимума.

Ответ

$$20$$ км/ч.