Упр.231 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=cos(2x)-2cos(x); б) f(x)=2-sin(x/2);
в) f(x)=2sin(x)+cos(2x); г) f(x)=3x-cos(3x).

1. а) $$f(x)=\cos 2x-2\cos x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-2\sin 2x+2\sin x=2\sin x-4\sin x\cos x=2\sin x(1-2\cos x).$$

   Критические точки определяются из уравнения $$2\sin x(1-2\cos x)=0,$$ то есть

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

   Отсюда

   $$x=\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Исследование знака производной даёт:

   $$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right],$$

   $$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right].$$

   Точки минимума и максимума:

   $$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$f(x)=2-\sin\frac{x}{2}$$

   $$f'(x)=-\frac12\cos\frac{x}{2}.$$

   Тогда

   $$f'(x)\ge 0 \iff \cos\frac{x}{2}\le 0,$$

   $$f'(x)\le 0 \iff \cos\frac{x}{2}\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n\right],$$

   $$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Точки экстремума:

   $$x_{\min}=\pi+4\pi n,\qquad x_{\max}=3\pi+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$f(x)=2\sin x+\cos 2x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x=2\cos x-4\sin x\cos x=2\cos x(1-2\sin x).$$

   Критические точки:

   $$2\cos x(1-2\sin x)=0,$$

   то есть

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   По знаку производной получаем:

   $$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],$$

   $$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Точки экстремума:

   $$x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$f(x)=3x-\cos 3x$$

   $$f'(x)=3+3\sin 3x=3(1+\sin 3x).$$

   Так как $$\sin 3x\ge -1,$$ то

   $$f'(x)\ge 0 \quad \text{при всех } x.$$

   Значит, функция возрастает на всей числовой прямой и точек максимума и минимума не имеет.

Ответ

а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right]$$,
убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$;
$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x_{\max}=\pi n.$$

б) возрастает на $$\left[\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right]$$;
$$x_{\min}=\pi+4\pi n,\quad x_{\max}=3\pi+4\pi n.$$

в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]$$,
убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$;
$$x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

г) функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, точек максимума и минимума нет.