Упр.231 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна $$480\ \text{р.}$$ в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости $$10\ \text{км/ч}$$ эта часть расходов равна $$30\ \text{р.}$$ в час. При какой скорости общая сумма расходов на $$1\ \text{км}$$ пути будет наименьшей?

Пусть $$v$$ км/ч — скорость парохода.

Тогда расходы на топливо за 1 час состоят из двух частей:

1) постоянные расходы $$480$$ р. в час;

2) переменные расходы, пропорциональные кубу скорости: $$kv^3$$.

По условию при $$v=10$$ км/ч эта часть равна $$30$$ р. в час, значит

$$1000k=30,\qquad k=0{,}03.$$

Тогда общие расходы на 1 км пути равны

$$S(v)=\frac{480+0{,}03v^3}{v}= \frac{480}{v}+0{,}03v^2.$$

Найдём минимум функции при $$v>0$$:

$$S'(v)=-\frac{480}{v^2}+0{,}06v.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$-\frac{480}{v^2}+0{,}06v=0,$$

$$0{,}06v^3=480,$$

$$v^3=8000,$$

$$v=20.$$

Следовательно, общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей при скорости $$20$$ км/ч.

Ответ: $$20$$ км/ч.