Упр.230 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 230. На странице текст должен занимать 384 см^2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое — по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Пусть $$x$$ и $$y$$ — размеры страницы, тогда размеры текстовой части равны $$x-4$$ и $$y-6$$, так как поля слева и справа по $$2$$ см, сверху и снизу по $$3$$ см.

По условию площадь текста:

$$ (x-4)(y-6)=384. $$

Выразим $$y$$:

$$ y=\frac{384}{x-4}+6. $$

Тогда площадь всей страницы

$$ S(x)=xy=x\left(\frac{384}{x-4}+6\right)=\frac{384x}{x-4}+6x. $$

Приведём к одной дроби:

$$ S(x)=\frac{384x+6x(x-4)}{x-4}=\frac{6x^2+360x}{x-4}. $$

Найдём минимум функции. Производная:

$$ S'(x)=\frac{(12x+360)(x-4)-(6x^2+360x)}{(x-4)^2}. $$

Для экстремума достаточно приравнять числитель к нулю:

$$ (12x+360)(x-4)-(6x^2+360x)=0, $$

$$ 12x^2-48x+360x-1440-6x^2-360x=0, $$

$$ 6x^2-48x-1440=0, $$

$$ x^2-8x-240=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=8^2+4\cdot240=64+960=1024, $$

$$ x=\frac{8\pm 32}{2}. $$

Получаем:

$$ x_1=-12,\quad x_2=20. $$

Так как размер страницы должен быть положительным и $$x>4$$, подходит только $$x=20$$.

Найдём $$y$$:

$$ y=\frac{384}{20-4}+6=\frac{384}{16}+6=24+6=30. $$

Следовательно, наиболее выгодные размеры страницы:

$$ 20\text{ см} \times 30\text{ см}. $$

Ответ

$$20\text{ см} \times 30\text{ см}$$