Упр.230 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций:

а) $$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+4x^2-7x+18$$;

б) $$f(x)=\frac{2x^2}{3-x}$$;

в) $$f(x)=\frac{x(x^3-4)}{2}$$;

г) $$f(x)=\frac{x}{4-x}$$.

а) $$f(x)=-\frac13x^3+4x^2-7x+18$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-x^2+8x-7.$$

Исследуем знак производной:

$$-x^2+8x-7\ge 0 \iff x^2-8x+7\le 0 \iff (x-1)(x-7)\le 0.$$

Отсюда

$$1\le x\le 7.$$

Значит, функция возрастает на $$[1;7]$$, а убывает на $$(-\infty;1]\cup[7;+\infty).$$

В точке $$x=1$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума. В точке $$x=7$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума.

б) $$f(x)=\frac{2x^2}{3-x}$$

Область определения: $$x\ne 3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(4x)(3-x)-2x^2(-1)}{(3-x)^2}=\frac{12x-4x^2+2x^2}{(3-x)^2}=\frac{2x(6-x)}{(3-x)^2}.$$

Так как $$(3-x)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ знак производной определяется числителем:

$$2x(6-x)\ge 0 \iff x\in[0;6].$$

С учётом разрыва при $$x=3$$ получаем:

функция возрастает на $$[0;3)\cup(3;6]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[6;+\infty).$$

Следовательно, $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=6.$$

в) $$f(x)=\frac{x(x^3-4)}{2}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(x^3-4)+x\cdot 3x^2}{2}=\frac{4x^3-4}{2}=2(x^3-1).$$

Исследуем знак:

$$f'(x)\ge 0 \iff x^3-1\ge 0 \iff x\ge 1.$$

Значит, функция возрастает на $$[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;1].$$

В точке $$x=1$$ — точка минимума.

г) $$f(x)=\frac{x}{4-x}$$

Область определения: $$x\ne 4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(4-x)-x(-1)}{(4-x)^2}=\frac{4}{(4-x)^2}.$$

Так как $$\frac{4}{(4-x)^2}>0$$ при всех $$x\ne 4,$$ функция возрастает на каждом промежутке области определения:

$$(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

а) возрастает на $$[1;7]$$, убывает на $$(-\infty;1]\cup[7;+\infty)$$; $$x_{\min}=1,$$ $$x_{\max}=7.$$

б) возрастает на $$[0;3)\cup(3;6]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[6;+\infty)$$; $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=6.$$

в) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;1]$$; $$x_{\min}=1.$$

г) возрастает на $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$