Упр.23 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Запишите формулы для решения простейших тригонометрических уравнений: $$\sin(x)=a$$, $$\cos(x)=a$$, $$\tg(x)=a$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$2\cos(x)+\sqrt{3}=0$$;
   б) $$\sqrt{3}\tg(x)+1=0$$;
   в) $$2\sin(x)-\sqrt{2}=0$$;
   г) $$2\cos(x)-1=0$$.

$$\cos x=a,\quad x=\pm \arccos a+2\pi n;$$

$$\sin x=a,\quad x=(-1)^n\arcsin a+\pi n;$$

$$\tg x=a,\quad x=\arctg a+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Решим уравнения:

а) $$2\cos x+\sqrt{3}=0$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x=\pm \arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sqrt{3}\tg x+1=0$$

$$\tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$x=\arctg\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) $$2\sin x-\sqrt{2}=0$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x=(-1)^n\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

г) $$2\cos x-1=0$$

$$\cos x=\frac{1}{2}$$

$$x=\pm \arccos\!\left(\frac{1}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ:
$$\cos x=a,\ x=\pm \arccos a+2\pi n;\quad \sin x=a,\ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n;\quad \tg x=a,\ x=\arctg a+\pi n.$$
а) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n;$$
б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n;$$
в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n;$$
г) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$