Упр.23 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Упростите выражения: а) $$\sqrt{2-\sqrt{3}}$$; б) $$\sqrt{129-56\sqrt{5}}$$; в) $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$$; г) $$\sqrt{57+12\sqrt{15}}$$.

Используем формулу $$a-2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$$ и подбираем числа так, чтобы подкоренное выражение стало полным квадратом.

1. $$\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}.$$
2. $$\sqrt{129-56\sqrt{5}}=\sqrt{80-2\cdot 4\sqrt{5}\cdot 7+49}=\sqrt{(4\sqrt{5}-7)^2}=4\sqrt{5}-7.$$
3. $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}+2}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{5}+\sqrt{2}.$$
4. $$\sqrt{57+12\sqrt{15}}=\sqrt{12+12\sqrt{15}+45}=\sqrt{(2\sqrt{3}+3\sqrt{5})^2}=2\sqrt{3}+3\sqrt{5}.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$$; б) $$4\sqrt{5}-7$$; в) $$\sqrt{5}+\sqrt{2}$$; г) $$2\sqrt{3}+3\sqrt{5}$$.