Упр.23 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Пусть $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда $$\sin \alpha>0,\quad \cos \alpha>0,\quad \tg \alpha>0.$$

а)

$$\sin \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha} = \sin \alpha \sqrt{1+\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sin \alpha \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha} = \tg \alpha.$$

С другой стороны,
$$\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\tg^{-2}\alpha}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha}} = \tg \alpha.$$

Следовательно, равенство верно.

б)

Используем формулу половинного угла:
$$\tg^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}.$$
Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4}$$ и $$\tg \frac{\alpha}{2}>0.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} = \frac{1}{\tg \frac{\alpha}{2}}, \qquad \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = \tg \frac{\alpha}{2}.$$
Значит,
$$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} — \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = \frac{1}{\tg \frac{\alpha}{2}}-\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Преобразуем:
$$\frac{1}{\tg \frac{\alpha}{2}}-\tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}} = \frac{1-\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}{\tg \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{2\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}{\tg \frac{\alpha}{2}}.$$
Но
$$\tg \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}},$$
поэтому получаем
$$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}} — \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} =2\ctg \alpha.$$

Что и требовалось доказать.

в)

Так как
$$1-\sin^2 \alpha=\cos^2 \alpha,$$
то
$$\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
С другой стороны,
$$\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$
Следовательно,
$$\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}.$$

г)

Преобразуем левую часть:
$$\sqrt{\sin^2 \alpha+\tg^2 \alpha \sin^2 \alpha} = \sqrt{\sin^2 \alpha(1+\tg^2 \alpha)}.$$
Так как
$$1+\tg^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha},$$
то
$$\sqrt{\sin^2 \alpha(1+\tg^2 \alpha)} = \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = |\tg \alpha| = \tg \alpha.$$

Преобразуем правую часть:
$$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha(1+\ctg^2 \alpha)}}.$$
Так как
$$1+\ctg^2 \alpha=\frac{1}{\sin^2 \alpha},$$
то
$$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha(1+\ctg^2 \alpha)}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}} = \frac{1}{|\ctg \alpha|} = \tg \alpha.$$

Обе части равны $$\tg \alpha$$, значит, равенство доказано.