Упр.23 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha}}=\frac{1}{\cos \alpha \cdot \frac{1}{|\cos \alpha|}}.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos \alpha>0,$$ значит $$|\cos \alpha|=\cos \alpha.$$ Тогда

$$\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha}}=\frac{1}{\cos \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}}=1.$$

Левая часть:

$$\sin \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha}=\sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}=\tg \alpha.$$

Следовательно, обе части равны $$\tg \alpha.$$

б) Используем формулу половинного аргумента:

$$\tg^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4},$$ значит $$\tg \frac{\alpha}{2}>0$$ и

$$\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\tg \frac{\alpha}{2}, \qquad \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}=\frac{1}{\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\frac{1}{\tg \frac{\alpha}{2}}-\tg \frac{\alpha}{2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}}.$$

По формуле

$$\tg \alpha=\frac{2\tg \frac{\alpha}{2}}{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}},$$

получаем

$$\frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}}=2\ctg \alpha.$$

в) Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin \alpha>0,$$ и

$$\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{\cos^2 \alpha}=\cos \alpha.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

Кроме того,

$$\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\sqrt{\sin^2 \alpha}=\sin \alpha,$$

поэтому

$$\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

Следовательно, равенство верно.

г) Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{\sin^2 \alpha+\tg^2 \alpha \sin^2 \alpha}=\sqrt{\sin^2 \alpha(1+\tg^2 \alpha)}.$$

Так как

$$1+\tg^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2 \alpha},$$

то

$$\sqrt{\sin^2 \alpha(1+\tg^2 \alpha)}=\sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}=\left|\tg \alpha\right|.$$

При $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\tg \alpha>0,$$ значит $$|\tg \alpha|=\tg \alpha.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha(1+\ctg^2 \alpha)}}.$$

Так как

$$1+\ctg^2 \alpha=\frac{1}{\sin^2 \alpha},$$

то

$$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha(1+\ctg^2 \alpha)}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}}=\frac{1}{|\ctg \alpha|}.$$

При $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ имеем $$\ctg \alpha>0,$$ значит

$$\frac{1}{|\ctg \alpha|}=\frac{1}{\ctg \alpha}=\tg \alpha.$$

Обе части равны $$\tg \alpha.$$

Ответ

а) $$\sin \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha}=\frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\tg^{-2} \alpha}}=\tg \alpha$$;

б) $$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=2\ctg \alpha$$;

в) $$\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}$$;

г) $$\sqrt{\sin^2 \alpha+\tg^2 \alpha \sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}}=\tg \alpha.$$