Упр.229 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ не лежат на одной прямой, причем $$\angle ABC=60^\circ$$. Одновременно из точки $$A$$ выходит автомобиль, а из точки $$B$$ — поезд. Автомобиль движется по направлению к $$B$$ со скоростью $$80\ \text{км/ч}$$, поезд — к $$C$$ со скоростью $$50\ \text{км/ч}$$. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если $$AB=200\ \text{км}$$?

Пусть $$t$$ — время движения, $$t \ge 0$$.

За это время автомобиль проедет $$80t$$ км, а поезд — $$50t$$ км. Тогда расстояние между ними по теореме косинусов равно

$$S(t)=(200-80t)^2+(50t)^2-2(200-80t)\cdot 50t\cdot \cos 60^\circ.$$

Так как $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем

$$S(t)=(200-80t)^2+(50t)^2-(200-80t)\cdot 50t.$$

Раскроем скобки:

$$S(t)=40000-32000t+6400t^2+2500t^2-10000t+4000t^2,$$

$$S(t)=12900t^2-42000t+40000.$$

Это квадратный трёхчлен, ветви параболы направлены вверх, значит наименьшее значение достигается в вершине:

$$t=\frac{-(-42000)}{2\cdot 12900}=\frac{42000}{25800}=\frac{70}{43}.$$

Следовательно, расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим через $$\frac{70}{43}$$ часа после начала движения.

Ответ: $$\frac{70}{43}$$ ч.