Упр.228 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=1/3x^3-x, x_1=2,0057, x_2=1,979;
б) f(x)=2+4x-x^2+1/4x^4, x_1=3,005, x_2=1,98.

Для приближённого вычисления используем формулу линейного приближения:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),$$

где $a$ — ближайшее удобное число к данным точкам.

а) $$f(x)=\frac13x^3-x,\quad x_1=2{,}0057,\quad x_2=1{,}979.$$

Возьмём $a=2$. Тогда

$$f'(x)=x^2-1,$$

$$f(2)=\frac13\cdot 8-2=\frac23,\qquad f'(2)=4-1=3.$$

Найдём приращения:

$$\Delta x_1=2{,}0057-2=0{,}0057,\qquad \Delta x_2=1{,}979-2=-0{,}021.$$

Тогда

$$f(x_1)\approx f(2)+f'(2)\cdot 0{,}0057=\frac23+3\cdot 0{,}0057\approx 0{,}684,$$

$$f(x_2)\approx f(2)+f'(2)\cdot(-0{,}021)=\frac23-3\cdot 0{,}021\approx 0{,}604.$$

б) $$f(x)=2+4x-x^2+\frac14x^4,\quad x_1=3{,}005,\quad x_2=1{,}98.$$

Возьмём для $x_1$ число $a=3$, а для $x_2$ — число $a=2$.

Производная:

$$f'(x)=4-2x+x^3.$$

Для точки $x_1=3{,}005$:

$$f(3)=2+12-9+\frac14\cdot 81=\frac{101}{4},$$

$$f'(3)=4-6+27=25,$$

$$\Delta x_1=3{,}005-3=0{,}005.$$

Тогда

$$f(x_1)\approx f(3)+f'(3)\cdot 0{,}005=\frac{101}{4}+25\cdot 0{,}005=25{,}375.$$

Для точки $x_2=1{,}98$:

$$f(2)=2+8-4+\frac14\cdot 16=10,$$

$$f'(2)=4-4+8=8,$$

$$\Delta x_2=1{,}98-2=-0{,}02.$$

Тогда

$$f(x_2)\approx f(2)+f'(2)\cdot(-0{,}02)=10-8\cdot 0{,}02=9{,}84.$$

Ответ

а) $$f(2{,}0057)\approx 0{,}684,\quad f(1{,}979)\approx 0{,}604.$$

б) $$f(3{,}005)\approx 25{,}375,\quad f(1{,}98)\approx 9{,}84.$$