Упр.226 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём область определения каждой функции.

1. $$y=\sqrt{1-2\cos x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$1-2\cos x\ge 0$$

   $$\cos x\le \frac12$$

   Это выполняется при

   $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}$$

   Требуется:

   $$\frac{4}{x^2}-1\ge 0,\quad x\ne 0$$

   $$\frac{4-x^2}{x^2}\ge 0$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, получаем

   $$4-x^2\ge 0$$

   $$-2\le x\le 2,\quad x\ne 0$$

   Следовательно,

   $$x\in[-2;0)\cup(0;2].$$

3. $$y=\sqrt{\sin x-0{,}5}$$

   Подкоренное выражение неотрицательно:

   $$\sin x-0{,}5\ge 0$$

   $$\sin x\ge \frac12$$

   Отсюда

   $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\sqrt{\frac{1}{x}+1}$$

   Требуется:

   $$\frac{1}{x}+1\ge 0,\quad x\ne 0$$

   $$\frac{1+x}{x}\ge 0$$

   Решаем методом интервалов. Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=0$$.

   Тогда

   $$x\in(-\infty;-1]\cup(0;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in[-2;0)\cup(0;2]$$;
в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in(-\infty;-1]\cup(0;+\infty).$$