Упр.225 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен степени $$n$$ имеет не более чем $$n$$ корней и не более чем $$n-1$$ точек экстремума.

Если число $$a$$ является корнем многочлена $$P(x)$$ степени $$n$$, то $$P(a)=0$$ и

$$P(x)=(x-a)Q(x),$$

где $$Q(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$. Значит, каждый корень многочлена можно выделить в виде линейного множителя. Так как многочлен степени $$n$$ может быть разложен не более чем на $$n$$ линейных множителей, то он имеет не более $$n$$ действительных корней.

Производная многочлена степени $$n$$ является многочленом степени $$n-1$$. Следовательно, она может иметь не более $$n-1$$ корней. В точках экстремума производная равна нулю, поэтому число точек экстремума многочлена не превосходит числа корней его производной.

Итак, многочлен степени $$n$$ имеет не более $$n$$ корней и не более $$n-1$$ точек экстремума.

Ответ: многочлен степени $$n$$ имеет не более $$n$$ корней и не более $$n-1$$ точек экстремума.