Упр.223 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) 2+sin(x) > 1/(1+x^2);
б) 2-cos(x) > 1/(1+x^2).

а) Рассмотрим неравенство $$2+\sin x>\frac{1}{1+x^2}.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

$$2+\sin x\ge 1.$$

С другой стороны,

$$1+x^2\ge 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{1+x^2}\le 1.$$

Причём равенство $$\frac{1}{1+x^2}=1$$ достигается только при $$x=0,$$ а равенство $$2+\sin x=1$$ возможно только при $$\sin x=-1,$$ то есть при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$ $$k\in\mathbb Z.$$

Следовательно, левая часть неравенства не меньше правой, а в точке равенства правой части левая часть строго больше неё. Значит, неравенство верно при всех $$x\in\mathbb R.$$

б) Рассмотрим неравенство $$2-\cos x>\frac{1}{1+x^2}.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$2-\cos x\ge 1.$$

И снова

$$\frac{1}{1+x^2}\le 1,$$

причём равенство справа возможно только при $$x=0,$$ а равенство слева $$2-\cos x=1$$ возможно только при $$\cos x=1,$$ то есть при $$x=2\pi k,$$ $$k\in\mathbb Z.$$

При $$x=0$$ получаем $$2-\cos 0=1$$ и $$\frac{1}{1+0^2}=1,$$ то есть знак строгого неравенства не выполняется. Для всех остальных $$x$$ левая часть больше 1, а правая не превосходит 1, значит неравенство выполняется.

Итак, решение — все действительные числа, кроме $$x=0.$$

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$