Упр.223 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$f'(x)=0$$, если: а) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$; б) $$f(x)=1{,}5\sin(2x)-5\sin(x)-x$$; в) $$f(x)=-\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}-9x$$; г) $$f(x)=x+\cos(2x)$$.

а) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

$$f'(x)=0 \iff 4x(x-1)(x+1)=0$$

$$x=-1,\;0,\;1$$

б) $$f(x)=1{,}5\sin 2x-5\sin x-x$$

$$f'(x)=3\cos 2x-5\cos x-1$$

$$3(2\cos^2 x-1)-5\cos x-1=0$$

$$6\cos^2 x-5\cos x-4=0$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$6t^2-5t-4=0$$

$$D=25+96=121$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 11}{12}$$

$$t_1=\frac{4}{3},\quad t_2=-\frac{1}{2}$$

Значение $$\frac{4}{3}$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$. Поэтому

$$\cos x=-\frac{1}{2}$$

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

в) $$f(x)=-\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}-9x$$

$$f'(x)=-x^4+10x^2-9$$

$$f'(x)=0 \iff x^4-10x^2+9=0$$

Пусть $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-10t+9=0$$

$$D=100-36=64$$

$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=9$$

Следовательно,

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$

$$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$

г) $$f(x)=x+\cos 2x$$

$$f'(x)=1-2\sin 2x$$

$$f'(x)=0 \iff \sin 2x=\frac{1}{2}$$

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$x=-1,\;0,\;1$$; б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$; в) $$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$.