Упр.221 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите все значения $$a$$, при которых функция $$f$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$:
а) $$f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+5$$;
б) $$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+48ax+6x-5$$.
Функция возрастает на $$\mathbb{R}$$ тогда и только тогда, когда её производная неотрицательна при всех $$x \in \mathbb{R}$$.
а) $$f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+5.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2.$$
Чтобы $$f(x)$$ возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы
$$(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2 \ge 0$$
при всех $$x$$. Для квадратного трёхчлена это возможно, если его дискриминант не положителен:
$$D=[2(a-1)]^2-4(a^2-1)\cdot 2 \le 0.$$
Упростим:
$$4(a-1)^2-8(a^2-1)\le 0,$$
$$4a^2-8a+4-8a^2+8\le 0,$$
$$-4a^2-8a+12\le 0,$$
$$a^2+2a-3\ge 0,$$
$$(a+3)(a-1)\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le -3 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$
Проверим коэффициент при $$x^2$$: при $$a\le -1$$ или $$a\ge 1$$ имеем $$a^2-1\ge 0$$, а найденные значения удовлетворяют этому условию. Значит,
$$a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty).$$
б) $$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+48ax+6x-5.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x^2-6(a+2)x+48a+6.$$
Для возрастания на $$\mathbb{R}$$ нужно, чтобы
$$6x^2-6(a+2)x+48a+6\ge 0$$
при всех $$x$$. Так как старший коэффициент положителен, достаточно потребовать, чтобы дискриминант был не больше нуля:
$$D=[-6(a+2)]^2-4\cdot 6\cdot(48a+6)\le 0.$$
Получаем:
$$36(a+2)^2-24(48a+6)\le 0,$$
$$36a^2+144a+144-1152a-144\le 0,$$
$$36a^2-1008a\le 0,$$
$$36a(a-28)\le 0.$$
Следовательно,
$$0\le a\le 28.$$
Ответ
а) $$(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$$; б) $$[0,28]$$.
