Упр.220 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=-0,2x^5+0,5x^4-x^3-x^2-x;
б) f(x)=0,8x^5-x^4+4x^3+2x^2+4x.

а) Найдём производную:

$$f(x)=-0,2x^5+0,5x^4-x^3-x^2-x$$

$$f'(x)=-0,2\cdot 5x^4+0,5\cdot 4x^3-3x^2-2x-1$$

$$f'(x)=-x^4+2x^3-3x^2-2x-1$$

Преобразуем:

$$f'(x)=-(x^4-2x^3+3x^2+2x+1)$$

$$x^4-2x^3+3x^2+2x+1=(x^2-x)^2+(x+1)^2+x^2$$

Значит,

$$f'(x)=-\big((x^2-x)^2+(x+1)^2+x^2\big)\le 0$$

Причём равенство невозможно, так как сумма квадратов не может быть равна нулю одновременно при всех слагаемых, поэтому

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\in \mathbb{R}.$$

Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой и экстремумов не имеет.

б) Найдём производную:

$$f(x)=0,8x^5-x^4+4x^3+2x^2+4x$$

$$f'(x)=0,8\cdot 5x^4-4x^3+4\cdot 3x^2+2\cdot 2x+4$$

$$f'(x)=4x^4-4x^3+12x^2+4x+4$$

Вынесем общий множитель:

$$f'(x)=4(x^4-x^3+3x^2+x+1)$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$x^4-x^3+3x^2+x+1=(2x^2-x)^2+(x+2)^2+10x^2$$

Тогда

$$f'(x)=4\big((2x^2-x)^2+(x+2)^2+10x^2\big)\ge 0$$

Причём равенство невозможно, значит

$$f'(x)>0 \quad \text{при всех } x\in \mathbb{R}.$$

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой и экстремумов не имеет.

Ответ

а) $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет.

б) $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет.