Упр.220 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x)=3/x^3-x^(1/5)+5/x^(1/3); б) f(x)=(2-vx)tg(x);
в) f(x)=(x^3-3x)/(1-2x); г) f(x)=sin(x)/(1-2cos(x)).

1. $$f(x)=\frac{3}{x^3}-\sqrt[5]{x}+\frac{5}{\sqrt[3]{x}}$$

   Перепишем в степенях:

   $$f(x)=3x^{-3}-x^{1/5}+5x^{-1/3}$$

   Тогда

   $$f'(x)=3\cdot(-3)x^{-4}-\frac{1}{5}x^{-4/5}+5\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-4/3}$$

   $$f'(x)=-\frac{9}{x^4}-\frac{1}{5x^{4/5}}-\frac{5}{3x^{4/3}}$$

2. $$f(x)=(2-\sqrt{x})\tg x$$

   По правилу произведения:

   $$f'(x)=\left(2-\sqrt{x}\right)’\tg x+\left(2-\sqrt{x}\right)(\tg x)’$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\tg x+\left(2-\sqrt{x}\right)\frac{1}{\cos^2 x}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$f'(x)=\frac{-\sin x\cos x+2\sqrt{x}-x}{2\sqrt{x}\cos^2 x}$$

   Так как $$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$, получаем

   $$f'(x)=\frac{4\sqrt{x}-2x-\sin 2x}{2\sqrt{x}\cos^2 x}$$

3. $$f(x)=\frac{x^3-3x}{1-2x}$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(3x^2-3)(1-2x)- (x^3-3x)(-2)}{(1-2x)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{(3x^2-3)(1-2x)+2(x^3-3x)}{(1-2x)^2}$$

   Раскроем скобки:

   $$f'(x)=\frac{3x^2-6x^3-3+6x+2x^3-6x}{(1-2x)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{3x^2-4x^3-3}{(1-2x)^2}$$

4. $$f(x)=\frac{\sin x}{1-2\cos x}$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{\cos x(1-2\cos x)-\sin x\cdot(2\sin x)}{(1-2\cos x)^2}$$

   $$f'(x)=\frac{\cos x-2\cos^2 x-2\sin^2 x}{(1-2\cos x)^2}$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, то

   $$f'(x)=\frac{\cos x-2}{(1-2\cos x)^2}$$

Ответ

$$\text{а) } f'(x)=-\frac{9}{x^4}-\frac{1}{5x^{4/5}}-\frac{5}{3x^{4/3}}$$

$$\text{б) } f'(x)=\frac{4\sqrt{x}-2x-\sin 2x}{2\sqrt{x}\cos^2 x}$$

$$\text{в) } f'(x)=\frac{3x^2-4x^3-3}{(1-2x)^2}$$

$$\text{г) } f'(x)=\frac{\cos x-2}{(1-2\cos x)^2}$$