Упр.22 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сформулируйте определения арккосинуса и арктангенса числа. Для каких чисел они определены?
2. Найдите значение выражения:
   а) $$\arccos(-1)+\arctg(\sqrt{3})$$;
   б) $$\arccos\left(\frac{1}{2}\right)+\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$$;
   в) $$\operatorname{arcctg}(-1)-\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$;
   г) $$\arccos(0)+\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$.

Арккосинусом числа $$a$$ называется такое число из отрезка $$[0;\pi]$$, косинус которого равен $$a$$, при этом $$-1 \le a \le 1$$.

Арктангенсом числа $$a$$ называется такое число из интервала $$\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$$, тангенс которого равен $$a$$, при этом $$a \in \mathbb{R}$$.

Решение

Найдём значения выражений, используя основные значения тригонометрических функций:

$$\text{а) } \arccos(-1)+\arctg\sqrt{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3};$$
$$\text{б) } \arccos\dfrac{1}{2}+\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi+\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2};$$
$$\text{в) } \arctg(-1)-\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{12};$$
$$\text{г) } \arccos 0+\arctg\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}.$$

Ответ

$$\arccos a \in [0;\pi], \quad \arccos a \text{ определён при } -1 \le a \le 1;$$
$$\arctg a \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right), \quad \arctg a \text{ определён при } a \in \mathbb{R}.$$
$$\text{а) } \dfrac{4\pi}{3}; \quad \text{б) } \dfrac{\pi}{2}; \quad \text{в) } -\dfrac{5\pi}{12}; \quad \text{г) } \dfrac{2\pi}{3}.$$