Упр.22 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите иррациональность чисел:

а) $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$, где $$k$$ и $$p$$ — целые числа, отличные от нуля;

б) 3,272772777277772… (после первой двойки стоит одна семерка, после второй — две, после третьей — три и т. д., после $$n$$-й двойки — $$n$$ семерок и т. д.).

Пусть $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}=r,$$ где $$r$$ — рациональное число.

Тогда

$$r^2=(k\sqrt{2}+p\sqrt{3})^2=2k^2+2kp\sqrt{6}+3p^2.$$

Отсюда

$$2kp\sqrt{6}=r^2-2k^2-3p^2,$$

значит,

$$\sqrt{6}=\frac{r^2-2k^2-3p^2}{2kp}.$$

Правая часть рациональна, так как $$k$$ и $$p$$ — целые числа, отличные от нуля, а $$r$$ рационально. Но $$\sqrt{6}$$ — иррациональное число. Противоречие. Следовательно, число $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$ иррационально.

Рассмотрим число $$3,272772777277772\ldots$$. Если бы оно было рациональным, то его десятичная запись была бы периодической. Пусть период имеет длину $$n$$. Тогда после $$n$$-й двойки должно повторяться одно и то же число цифр, а в записи после каждой двойки стоит всё больше семёрок: после первой — одна, после второй — две, после третьей — три и т. д. Значит, период не может существовать. Противоречие.

Следовательно, число $$3,272772777277772\ldots$$ иррационально.

Ответ: а) иррационально; б) иррационально.