Упр.22 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1+\tg \alpha}{1+\ctg \alpha}=\frac{1+\tg \alpha}{1+\frac{1}{\tg \alpha}}=\tg \alpha.$$

Так как $$\cos \alpha=\frac{12}{13}$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\sin \alpha<0.$$ Тогда

$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=-\frac{5}{13}.$$

Следовательно,

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}.$$

б) $$\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-1}=\frac{\tg \alpha+1}{\tg \alpha-1}.$$

Подставим $$\tg \alpha=\frac{5}{4}:$$

$$\frac{\frac{5}{4}+1}{\frac{5}{4}-1}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}}=9.$$

в) $$\frac{\cos \alpha+\ctg \alpha}{\ctg \alpha}=\frac{\cos \alpha+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}=1+\sin \alpha.$$

Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\sin \alpha<0.$$ При $$\cos \alpha=-\frac{1}{3}$$ имеем

$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Тогда

$$1+\sin \alpha=1-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{3-2\sqrt{2}}{3}.$$

г) Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$ Тогда

$$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta=(1-\cos^2 \alpha)-(1-\sin^2 \beta)=\sin^2 \beta-\cos^2 \alpha=-(\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta).$$

Если $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta=0{,}5,$$ то

$$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta=-0{,}5.$$

Ответ

а) $$-\frac{5}{12}$$; б) $$9$$; в) $$\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$$; г) $$-0{,}5$$.