Упр.219 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстремумы: а) $$f(x)=x^2(\sqrt{x}-1)$$; б) $$f(x)=x^2\sqrt{1-2x}$$; в) $$f(x)=6\sin(x)-\cos(2x)$$; г) $$f(x)=2\sin(x)+3\cos(x)$$.

Исследуем функцию по производной.

а)

$$f(x)=x^2(\sqrt{x}-1), \qquad x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x(\sqrt{x}-1)+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Приведём к общему виду:

$$f'(x)=2x\sqrt{x}-2x+\frac12 x\sqrt{x}=\frac52 x\sqrt{x}-2x.$$

Тогда

$$f'(x)=x\left(\frac52\sqrt{x}-2\right).$$

Решаем неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$x\left(\frac52\sqrt{x}-2\right)\ge 0.$$

При $$x\ge 0$$ получаем

$$\frac52\sqrt{x}-2\ge 0,\qquad \sqrt{x}\ge \frac45,\qquad x\ge \frac{16}{25}.$$

Следовательно, функция возрастает на $$\left[\frac{16}{25};+\infty\right)$$ и убывает на $$\left[0;\frac{16}{25}\right].$$

Минимум достигается при $$x=\frac{16}{25}.$$

б)

$$f(x)=x^2\sqrt{1-2x}, \qquad x\le \frac12.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x\sqrt{1-2x}+x^2\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}}.$$

То есть

$$f'(x)=2x\sqrt{1-2x}-\frac{x^2}{\sqrt{1-2x}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$f'(x)=\frac{2x(1-2x)-x^2}{\sqrt{1-2x}}=\frac{2x-5x^2}{\sqrt{1-2x}}=\frac{x(2-5x)}{\sqrt{1-2x}}.$$

Так как $$\sqrt{1-2x}>0$$ при $$x<\frac12,$$ знак производной определяется числителем:

$$x(2-5x)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in \left[0;\frac25\right].$$

Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac25\right]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup \left[\frac25;\frac12\right].$$

Минимум при $$x=0,$$ максимум при $$x=\frac25.$$

в)

$$f(x)=6\sin x-\cos 2x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=6\cos x+2\sin 2x.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$f'(x)=6\cos x+4\sin x\cos x=2\cos x(3+2\sin x).$$

Так как $$3+2\sin x>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется знаком $$\cos x.$$

Следовательно, функция возрастает при

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

и убывает при

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

Минимум достигается при

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

максимум — при

$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

г)

$$f(x)=2\sin x+3\cos x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos x-3\sin x.$$

Представим её в виде одной тригонометрической функции:

$$f'(x)=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x-\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x\right).$$

Пусть

$$\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},\qquad \sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad \alpha=\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}.$$

Тогда

$$f'(x)=\sqrt{13}\cos(x+\alpha).$$

Решаем неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$\cos(x+\alpha)\ge 0.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x+\alpha\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n.$$

Следовательно, функция возрастает на

$$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right],$$

и убывает на

$$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right],\qquad n\in \mathbb Z.$$

Минимум при

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,$$

максимум при

$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[\frac{16}{25};+\infty\right),$$ убывает на $$\left[0;\frac{16}{25}\right],$$ $$x_{\min}=\frac{16}{25}.$$

б) возрастает на $$\left[0;\frac25\right],$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup \left[\frac25;\frac12\right],$$ $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=\frac25.$$

в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],$$ $$n\in \mathbb Z.$$

г) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right],$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right],$$ $$n\in \mathbb Z.$$