Упр.217 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$f(x_0)=g(x_0)$$ и $$f'(x)>g'(x)$$ при $$x>x_0$$, то $$f(x)>g(x)$$ при $$x>x_0$$.

Рассмотрим функцию $$h(x)=f(x)-g(x).$$ Тогда

$$h'(x)=f'(x)-g'(x).$$

По условию при $$x>x_0$$ имеем $$f'(x)>g'(x),$$ значит

$$h'(x)>0 \quad \text{при } x>x_0.$$

Следовательно, функция $$h(x)$$ возрастает на промежутке $$x>x_0$$. Поэтому для всех $$x>x_0$$

$$h(x)>h(x_0).$$

Но

$$h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)=0,$$

так как $$f(x_0)=g(x_0).$$ Значит,

$$h(x)>0,$$

то есть

$$f(x)-g(x)>0.$$

Следовательно,

$$f(x)>g(x) \quad \text{при } x>x_0.$$

Ответ

Доказано, что $$f(x)>g(x)$$ при $$x>x_0.$$